Modelación del Desplazamiento del Barco: Secuencia - Ecuaciones de Movimiento

En esta sección nos preocuparemos de sentar el marco teórico que definirá el movimiento del barco. De acuerdo a lo estipulado en las bases, la embarcación debe desplazarse cierta distancia mínima (5 metros) sólo con el impulso otorgado por un chorro de 1'' que impactará en la placa de ésta y debe hacerlo de la manera más rápida posible. Aquí es donde separamos los requisitos: por un lado están los requerimientos mínimos, a saber, que el bote recorra al menos 5 metros, impulsado por el chorro; y por el otro, está la competencia, en la cual se establecerá un ganador dentro de todos los barcos que participen, siendo el más veloz el vencedor.

En este apartado, nos preocuparemos solamente de modelar el desplazamiento del barco. Por lo tanto, la estimación del tiempo que demorará nuestro prototipo en recorrer los 5 metros requeridos, se calculará en una entrada posterior.

Si analizamos con detención las fuerzas que afectarán al barco durante la experiencia, podemos considerar tres grandes etapas de la experiencia: Antes del impacto del chorro, Durante el impacto del chorro y Después del impacto del chorro. Procedemos a explicar cada una a continuación:

Antes del impacto del chorro:

En esta etapa el barco se encuentra en reposo (velocidad igual a 0) y tiene lugar desde que el chorro sale desde el tubo hasta justo antes de impactar la placa. Para efectos de ecuaciones, lo único importante a señalar aquí es que el peso es igual al empuje, que corresponde a la flotación de la embarcación. Sin embargo, una de las suposiciones que haremos aplicable a toda la experiencia, es considerar que en todo momento ambas cantidades están igualadas, de manera que el barco no se moverá en sentido vertical en ningún momento. Esta suposición es aceptable si consideramos que el agua del canal se encontrará en reposo, de manera que a lo largo de los 5 metros que debe recorrer, será una distancia lo suficientemente corta como para que no se produzca oleaje excesivo.

En la realidad, sabemos que esto no es así, ya que al avanzar, a veces las embarcaciones se hunden un poco y demora un tiempo para que el empuje iguale al peso. Se aprecia notablemente en el océano con el oleaje, o también en los rápidos. Pero ambos son casos en los cuales el fluido está en constante movimiento.

La ecuación para esta parte de la experiencia (y válida también para las otras dos) está dada por:





Durante el impacto del chorro:











Tiene lugar desde el momento en que la placa es impactada por el chorro hasta justo antes de que éste ya no tenga efecto alguno en el movimiento del barco. Durante esta etapa, el barco se ve sometido a la fuerza del chorro y a la fuerza de roce (o arrastre) que se da entre el fluido y el barco, y que se opone al movimiento de éste. Acá introduciremos otra de nuestras suposiciones para el modelo: consideraremos que la fuerza que imprime el chorro al barco es constante durante el tiempo en que efectivamente influye sobre el avance del prototipo. Este tiempo lo aproximaremos a un valor, puede ser entre 4 a 7 segundos, dependiendo de los experimentos en laboratorio.

Por otro lado, también consideraremos que la masa del barco está concentrada toda en su centro de gravedad y por lo tanto, la aceleración calculada también será la de su centro de gravedad.

También podemos ver, que otra de las fuerzas que actúa sobre el bote, es la fuerza de roce, que está dada por la oposición que pone el fluido al barco para que éste se desplace.

Por lo tanto, las ecuaciones para esta etapa son las siguientes:










Con mG=masa en el centro de gravedad y aG=aceleración del centro de gravedad.

Después del impacto del chorro:











Esta última etapa, tiene lugar justo después de que el chorro deja de tener efecto sobre el barco y ya no consigue alcanzarlo para otorgarle impulso. Es así como en esta parte de la experiencia, la única fuerza en la dirección del desplazamiento (horizontal) es la fuerza de roce, que se encargará de ir frenando el movimiento del prototipo hasta eventualmente detenerlo.

Finalmente, las ecuaciones para este período se muestra a continuación:







En lo que sigue, iremos en busca de las expresiones que determinen cada uno de los términos de las ecuaciones anteriomente señaladas. Ya tenemos las fuerzas del chorro y de roce, con esto podemos resolver las 3 etapas, ya que el desplazamiento se calcula como la integral de la velocidad entre 0 y t, y con ello tenemos el modelo completo.

Entonces, las ecuaciones del movimiento del barco se resumen en las dos siguientes:






En donde VG es la velocidad del centro de gravedad del barco. Que es lo mismo que: